Народный артист РСФСР (1965 г.), Почетный гражданин Кемеровской области (1985 г., 1995 г.). Артист оперетты. Оперный певец. Участник Великой Отечественной войны, имел боевые награды.

Пришел в Кемеровский театр музкомедии в 1949 году. Блистательно исполнял роли в спектаклях «Сильва», «Веселая вдова», «Белая акация», «Летучая мышь», «Свадьба в Малиновке» и др.

С 1999 года Музыкальный театр Кузбасса носит его имя.

Администрацией Кемеровской области была установлена премия имени А. К. Боброва, которая присуждалась за особые заслуги в развитии театрального искусства Кузбасса.

В 1999 г. именем актера были названы улица, на которой стоит Дом актёра, и сквер перед ним. 28 ноября 1999 года в сквере была открыта стела памяти народного артиста России Александра Константиновича Боброва. На доме, где жил А.К. Бобров, установлена мемориальная доска.